Espérance

En bref

$E(X)$ est "la moyenne de $X$"

Définition

Définition :
Si la variable aléatoire discrète $X$ est intégrable, alors elle a une espérance, qui vaut $${{E(X)}}={{\sum_{x_k\in X(\Omega)}x_kP(X=x_k)}}$$

(Variable aléatoire (Intégrabilité), Probabilité)

Propriétés

Linéarité

Soit $X$ et $Y$ deux v.a. Discrètes intégrable
Alors $${{E(\lambda X)}}={{\lambda E(X)}}\quad\text{ et }\quad {{E(X+Y)}}={{E(X)+E(Y)}}$$

(Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)

Positivité

Soit $X$ une variable aléatoire discrète intégrable
Alors $${{X\geqslant0}}\implies {{E(X)\geqslant0}}$$

(Positivité)

Majoration/minoration

Soit $X$ une variable aléatoire discrète intégrable
Alors $$\begin{align} {{X\geqslant a}}\implies {{E(X)\geqslant a}}\\ {{X\leqslant a}}\implies {{E(X)\leqslant a}}\end{align}$$

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes intégrables
Alors $${{X\leqslant Y}}\implies {{E(X)\leqslant E(Y)}}$$

Théorème de comparaison

Soit $X$ et $Z$ deux variables aléatoires discrètes
Si $X$ est intégrable et si $\lvert Z\rvert\leqslant\lvert X\rvert$, alors $Z$ est intégrable

(//Théorème de comparaison)

Lien avec la probabilité d'être supérieur

Lemme :
Pour $X$ une variable aléatoire à valeur dans ${\Bbb N}$, on a $${{E(X)}}={{\sum^{+\infty}_{i=1}P(X\geqslant i)}}$$ si cette série converge

Espérance d'une fonction d'une variable aléatoire - Théorème de transfert

Proposition :
Soit $X$ une variable aléatoire discrète et $f:X(\Omega)\to{\Bbb R}$
Leur composée est la variable aléatoire discrète $f(X):\Omega\to{\Bbb R}$
Alors on a : $${{E(f(X))}}={{\sum_{x_k\in X(\Omega)}f(x_k)P(X=x_k)}}$$ si cette série converge absolument et sinon, $f(X)$ n'est pas intégrable

Consigne: Soit $X$ une variable aléatoire discrète et $f:X(\Omega)\to{\Bbb R}$
Leur composée est la variable aléatoire discrète $f(X):\Omega\to{\Bbb R}$
Montrer qu'on a alors : $${{E(f(X))}}={{\sum_{x_k\in X(\Omega)}f(x_k)P(X=x_k)}}$$ si cette série converge absolument et sinon, $f(X)$ n'est pas intégrable

Mq $f(X)$ est v.a. En montrant qu'elle est dans la tribu
On note $Y=f(X)$
$$\begin{align}\forall B\subset{\Bbb R},\qquad Y^{-1}(B)&=\{\omega\in\Omega\mid f(X(\omega))\in B\}\\ &=\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in \underbrace{f^{-1}(B)}_{\subset{\Bbb R}}\}\\ &=X^{-1}(f^{-1}(B))\in{\mathcal F}\end{align}$$

$Y$ est discrète
De plus, $$Y(\Omega)=f(X(\Omega))=\{f(x_k)\mid x_k\in X(\Omega))\}$$ donc $Y(\Omega)$ est fini ou dénombrable

Calculer l'espérance

$$\begin{align}\sum_{y_j\in Y(\Omega)}\lvert y_j\rvert P(Y=y_i)&=\sum_{y_j\in Y(\Omega)}\lvert y_j\rvert P\left(\underset{f(x_k)=y_j}{\bigcup_{x_k\in X(\Omega)}}\{X=x_k\}\right)\\ &=\sum_{y_j\in Y(\Omega)}\underset{f(x_k)=y_j}{\sum_{x_k\in X(\Omega)}}\lvert f(x_k)\rvert P(X=x_k)\\ &\overset{\text{Fubinni ou commutativité}}=\sum_{x_k\in X(\Omega)}\lvert f(x_k)\rvert P(X=x_k)\end{align}$$
$\to$ si ceci est $+\infty$, alors $Y$ est non intégrable
$\to$ si ceci est fini, alors $Y$ est intégrable et $E(Y)=\sum_{x_k\in X_(\Omega)}f(x_k)P(X=x_k)$

(Théorème de transfert)

Proposition : $${{E(f(X_1,\dots,X_n))}}={{\sum_{x_1\in X_1(\Omega)}\dots\sum_{x_n\in X_n(\Omega)}f(x_1,\dots,x_n)P((X_1,\dots,X_n)=(x_1,\dots,x_n))}}$$

Valeur absolue

Proposition :
Si $X$ est une v.a. Discrète intégrable, $${{\lvert E(X)\rvert}}\leqslant {{E(\lvert X\rvert)}}$$

Math'φsics

Formulaire de report